Wohnsitz kurzzeitig ummelden, Probleme mit Jobcenter?

Hallo, ich schildere kurz meine Situation:
Ich wohne in Stadt A und beziehe Alg 2, bin aktuell durch den Ärztlichen Dienst des Jobcenters für mindestens 6 Monate als nicht arbeitsfähig eingestuft.

Meine Eltern bieten mir an, mir meinen Führerschein zu finanzieren, was meine berufliche Lage nach der Krankheit natürlich stark verbessern würde.
Bedingung ist aber, dass ich den Führerschein bei Ihnen in meinem alten Wohnort, Stadt B mache. (30km entfernt)

Nun habe ich etwas recherchiert und es scheint so, dass man die Prüfüngen nur an dem Ort ablegen kann, wo man auch gemeldet ist. Das ist bei mir natürlich Stadt A.
Nun ist die Idee, dass ich mich kurzzeitig in Stadt B anmelde unter dem Wohnsitz meiner Eltern, um dort in die Fahrschule und die Prüfungen ablegen zu können.
Danach würde ich mich wieder nach Stadt A ummelden.

Schon beim Schreiben wird mir klar, dass diese Variante sicher nicht das gelbe vom Ei ist.
Sorgen macht mir vor allem, ob das Jobcenter von dieser Ummeldung erfährt und es dort Probleme geben könnte.

Oder gibt es eine andere Möglichkeit, die Fahrschule und Prüfungen in einer anderen Stadt ablegen zu können?
Bei meiner Recherche habe ich gesehen, dass es Fahrschulen gibt, die damit werben, den Führerschein in 1-2 Wochen in einem Intensivkurs zu machen, inklusive Prüfung.
Da würde die Prüfung dann auch bei den Fahrschulen im Ort abgelegt werden.

Zu welchem Vorgehen ratet Ihr mir bzw. könnt Ihr mir einen Tip geben, wie ich das irgendwie umsetzen kann?
LG norianda