Wird eine Bürgschaft Mietvertragsbestandteil, wenn Vermieter mündlich darum bittet?

Hallo zusammen,

Ich habe momentan ein großes Problem und bitte dringend um eine Antwort.

Ich sollte am 01.07. in eine WG einziehen und hatte dies mit den anderen Bewohnern abgesprochen.
Nun habe ich mich vor 3 Tagen mit dem Vermieter getroffen und wir haben beide den Mietvertrag, sowie eine
Wohnungsgeberberechtigung ausgefüllt und unterzeichnet.
Nach der Unterzeichnung meinte der Vermieter, er bräuchte noch eine Mietbürgschaft für mich.
Nun habe ich keine Person die ich für mich bürgen lassen würde und die dies auch tun kann.
Ich habe ein festes Einkommen, ein Einkommensnachweis reichte ihm leider nicht aus.

Nun bleiben mir gerade noch 2 Tage und ich kann den Vermieter nicht erreichen um mit ihm nochmal darüber zu reden.

Also zur Frage:
Die Bürgschaft steht NICHT schriftlich im Mietvertrag, der bereits beidseitig unterzeichnet wurde.
Kann ich nun einziehen, ohne diese abzugeben?
Handelt es sich jetzt um eine "freiwillige" Bürgschaft oder ist sie durch die mündliche Bitte Vertragsbestandteil?

Als Vertragsbestandteil würde ja auch die gesetzliche Kostenobergrenze in Bezug auf die Nettokaltmiete gelten und Jemand würde für mich bürgen.
Bei einer freiwilligen Bürgschaft gäbe es diese Obergrenze soweit ich weiß nicht. Aber da der Vertrag schon unterzeichnet ist, könnte ich auf die Abgabe einer solchen ja verzichten, oder?

Meine Sorge ist nun auch, dass ich, wenn ich nun nicht einziehe, in zwei Monaten einen Brief bekomme, in dem steht, dass ich dort Miete zahlen soll, da ich ja den Mietvertrag unterzeichnet habe.

Ich bedanke mich schonmal recht herzlich für alle Antworten!