Welche Nachmieter darf der Vermieter ablehnen? (Sonderfall Schwangerschaft)

Ich bin schwanger und suche aufgrund eines Umzugs in die Stadt, in der mein Freund (= Vater des Kindes) lebt, einen Nachmieter.
Ich weiß, daß es sich aufgrund meiner Schwangerschaft um eine Art Sonderfall handelt.
Darf ein Vermieter mehrere interessierte Nachmieter (die auch Teile meines Hausrats mitübernommen hätten) ablehnen, weil diese ein Haustier haben?
Darf der Vermieter darauf bestehen, ausschließlich Nachmieter zu akzeptieren, deren Schufa-Auskunft anstandslos ist? (Wie lange dauert das Einholen einer solchen Auskunft?)
Gelten auch solche Interessenten als potentielle Nachmieter, die die Wohnung gerne genommen hätten, aber aufgrund der langen Wartezeit (ca. 2 Wochen) bis sich der Vermieter mit ihnen in Verbindung gesetzt hat, wieder abgesprungen sind? (Der Vermieter befindet sich leider ausgerechnet in der Zeit, in der ich Nachmieter suche, immer wieder auf Reisen.)