Vorgeschlagenen Nachmieter grundlos abgelehnt

Selbstverständlich muss der Vermieter keinen bestimmten Nachmieter akzeptieren. Es ist selbstverständlich die frei Entscheidung des Vermieters, ob und mit wem er einen Mietvertrag abschließt.

Das ist allerdings nur die halbe Wahrheit und es ist die Hälfte, die den Mieter nicht wirklich interessiert.

Man wird den Sachverhalt schon etwas ausführlicher betrachten müssen.
Der einfachste Fall ist ein Mietverhältnis auf unbestimmte Zeit mit einer Kündigugnsfrist von 3 Monaten für den Mieter. Die Einhaltung der Kündigungsfrist wird dem Mieter immer zuzumuten sein.
Handelt es sich dagegen um ein Mietverhältnis, das über einen längern Zeitraum nicht ordentlich gekündigt werden kann, kann der Mieter einen Anspruch auf vorzeitige Entlassung aus dem Mietverhältnis gegen Nachmieterstellung haben.
Ob ein derartiger Anspruch besteht wird zunächst von dem Grund des Mieters für eine Beendigung des Mietverhältnisses abhängen. Dann wird eine Abwägung des Mieterinteresses gegen das Bestandsinteresse des Vermieters durchzuführen sein.
Kommt man nach Interessenabwägung zu einem für den Mieter positiven Ergebnis, wird der Mieter ab dem Zeitpunkt aus dem Mietverhältnis entlassen sein, zu dem ein akzeptabler Nachmieter das Mietverhältnis zu unveränderten Bedingungen fortsetzt oder, falls der Vermieter nicht akzeptiert, fortsetzen würde.
Besteht kein Anspruch, kann der Vermieter jeden beliebigen Nachmieter - auch grundlos - ablehnen. Der Mieter hat den Mietvertrag trotzdem zu erfüllen.

Ein Umzug des Mieters ins Ausland ist keineswegs per se ein ausreichend wichtiger Grund. Man wird die Umstände des Einzelfalls zu betrachten haben.

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