Recht des Untermieters auf Nachmieter?

Guten Tag
Ich habe in meiner Wohnung ein unmöbliertes Zimmer untervermietet. Mein Mitbewohner möchte nun ausziehen.
Ich habe mir schon länger überlegt, dass ich nach diesem Untermieter erst einmal nicht direkt wieder untervermieten möchte. Auch deshalb, weil sich ab Mai meine Gehaltsbedingungen ändern und ich dann in der Lage bin meine Wohnung erst einmal (zumindes für ein paar Monate) allein zu halten/finanzieren.
Bin ich verpflichtet einen Nachmieter zu suchen oder zu akzeptieren, wenn keine triftigen Gründe gegen die "angebotenen" Nachmieter sprechen? Was sind dabei überhaupt triftige Gründe, bei der Ablehnung eines angebotenen Nachmieters?
Kann ich aus Eigenbedarf auf einen Nachmieter verzichten? Ändert sich damit die Kündigungsfrist von 3 Monaten?
Sollte ich Eigenbedarf als Begründung anführen, wann dürfte ich dann wieder untervermieten?
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen.
Danke im Vorraus!