Kündigungsfrist Mieter / Eigenbedarfskündigung

So ganz hab ich das noch nicht nachvollziehen können:

Der Vermieter hat also gekündigt.
Wann aber wurde der Mietvertrag beendet und wodurch? Wenn der Mieter also zwei Monate später ausgezogen ist: hat er denn noch die restlichen neun Monate lang Miete gezahlt? Oder war da eine Übereinkunft mit dem Vermieter, dass der Mietvertrag mit dem Auszug beendet ist ("Aufhebungsvertrag")?

Dann die Dachgeschosswohnung: der Vermieter wusste davon beim Verfassen des Kündigungsschreibens noch nichts, aber dann ist die Wohnung innerhalb vom zwei Monaten frei geworden? Wie kann das denn sein - auch ein Aufhebungsvertrag etwa?

Aber generell: Wenn der Mietvertrag bereits gekündigt, aber noch nicht (beispielsweise durch Aufhebungsvertrag) beendet war, dann hätte die Wohnung angeboten werden müssen. Der Vermieter macht sich in der Tat schadenersatzpflichtig, wenn er das nicht tut, obwohl die Wohnung der gekündigten vergleichbar genug gewesen wäre und die Kündigung wegen Eigenbedarf erfolgt ist.
Der Vermieter hätte wahlweise wegen "Eigenbedarf ist entfallen" auch dem Mieter die Fortsetzung des Mietvertragen anbieten können, solange der dort noch wohnte.

Jetzt meint der Vermieter, das mündlich getan zu haben und der Mieter bestreitet das. Da kommt es auf Glaubwürdigkeit und Beweise an.
Erst mal sollte man grundsätzlich den Aufhebungsvertrag prüfen: war der etwa auch nur mündlich? Dann kann der Vermieter ja auch mal behaupten, dass der gar nicht stattgefunden hat und die ausstehenden Mietzahlungen vom Mieter verlangen.

Wenn der Vermieter glaubwürdige Zeugen hat, dann kommt der Mieter damit nicht durch.