Kündigung/Mietschulden/Trennung

kurz erklärt.

auszug fand vor drei montaten statt, mieter sind zwei parteien. stehen beide im mietvertrag. die eine partei hat die kündigung rechtzeitig versendet, mit der bitte aus dem mietvertrag raus genommen zu werden.
die andere mietpartei blieb in der wohnung wohnen und hat aber nun mietschulden gemacht.
nun wird die ausgezogene partei nicht aus dem mietvertrag entlassen bis diese mietschulden beglichen sind.
es wird nun sogar mit einer klage gedroht, die gegen beide parteien gehen soll

frage : muss die ausgezogene und gekündigte partei für die nachträglich entstandenen mietschulden aufkommen ?

eine schnelle antwort wäre super danke