Wer muß die Anwaltskosten tragen?

Hallo,

ich hoffe ich bin mit meiner Frage hier richtig:

Nehmen wir mal an, Person A erbringt eine Dienstleistung für Person B, die dann diese Dienstleistung nicht bezahlen möchte.
Es geht Schriftverkehr hin und her, mittlerweile hat Person A auch einen Rechtsanwalt eingeschaltet.
Der RA schreibt Person B, daß sie zahlen muß (Begründung wohl hier nicht so wichtig), und außerdem nach Paragraphen 280 und 286, BGB auch verpflichtet ist, die Aufwendungen für ihn, also den RA zu tragen. Dieses Schreiben schickt der RA natürlich auch seinem Mandanten, Person A, zur Kenntnis.
Person A liest schwarz auf weiß, daß sein RA an Person B schreibt, daß es eine gesetzliche Grundlage dafür gibt, daß Person B die RA-Kosten zu übernehmen hat.
Kurz bevor es zum Mahnbescheid kommt bezahlt Person B die Rechnung.
Allerdings bezahlt Person B nicht die RA-Kosten, sondern nur den ursprünglichen Rechnungsbetrag, worauf der RA noch einmal einen Brief an Person B schreibt, auf den aber keine Reaktion mehr erfolgt.
Weil das so ist, stellt der RA jetzt die Rechnung einfach an Person A, seinen Mandanten.
Wer muß denn nun bezahlen?

A) Person A - wer bestellt bezahlt auch.
B) Person B - wer die Kosten verursacht muß sie auch tragen.

Kleine Zusatzfrage:
Kann es denn sein, daß ein RA, der eine gesetzliche Grundlage darin sieht, die RA-Kosten bei Person B einzutreiben, dann doch bei Person A, eventuell per Mahnbescheid, versucht zu seinem Geld zu kommen, weil Person B gar keine Lust darauf hat, sich überhaupt mit dem RA auseinanderzusetzen?

Würde mich über begründete Antworten freuen, damit ich es auch verstehen kann, danke! :-)