darf ein Arbeitgeber bei einer Kündigung oder einem aufhebungsvertrag einen Urlaub nicht auszahlen?

Natürlich ist Urlaub, wenn er beantragt wird, aber nicht genommen werden kann, auszubezahlen. Ansonsten ist es auch möglich, dass der AG eine Bescheinigung über den genommenen Urlaub ausstellt - das ist insb. dann von Vorteil, wenn AN eine Anschlussbeschäftigung hat und der neue AG den Urlaubsanspruch übernimmt.

/// Und vorallem darf der arbeitgeber den vetrag überhaupt so beenden und Hindrehen, dass er am Ende dem an faktisch weniger bezahlt als vorher?

... verstehe ich nicht: es ist doch der AN, der vorzeitig aus dem Vertrag raus will.

Ich verstehe es wohl immer noch nicht. Du schreibst doch
/// Auf Wunsch des an soll der vetrag Ende Juli
Wenn du kündigst zu Ende Juli, ist doch klar wie Kloßbrühe, dass du im August keine Gehalt mehr hast.
Wenn aber die Verkürzung auf Betreiben des AG - wieso spielst du dann mit?

Nein - umgekehrt wird ein Schuh daraus: Urlaubsanspruch hast du doch nur in einem Arbeitsverhältnis, nicht danach! Abgesehen davon ist Urlaub bezahlte Zeit. Also: Letzter Tag im Betrieb minus Resturlaub minus ggf. Plusarbeitszeiten.
An deinem Beispiel: Kündigung zum 31.08. minus Urlaub 20 Arbeitstage = letzter Arbeitstag 02.08.
Wobei wie immer gilt: Der AG kann dem U-Wunsch aus dringenden betrieblichen Gründen widersprechen oder wenn die U-Wünsche anderer entgegenstehen.

Ich hatte es vergessen. Dein Arbeitsverhältnis ist ja durchaus befristet bis Ende August. Folglich brauchst du nicht einmal zu kündigen, das Arbeitsverhältnis endet mit Ablauf der Befristung.

Darum heute zum 31.07. kündigen. Abgelten muss der AG den Resturlaub!