Nebenjob annehmen

Guten Tag,

ich habe am 01 September eine Arbeit als Angestellter angefangen, vom Montag bis Mittwoch, 24 Std. Ich bin noch in der Probezeit.

Donnerstag bis Freitag habe ich bis jetzt komplett frei.

Nun besteht die Aussicht, eventuell eine Stelle als Fremdsprachenlehrer am Gymnasium anzunehmen. Noch ist unklar, ob überhaupt, und wenn ja, ob nur Donnerstag und Freitag in Verbindung mit dem anderen Job auch geht, oder nur Vollzeit.

Da ich auch nicht sicher bin, ob ich dieses Nebenjob überhaupt gut bewerkstelligen kann, (habe bis jetzt nur Nachhilfe gegeben mit jeweils nur ein Schüler), will ich die erste Stelle auch behalten.

Nun meine konkrete Frage:
Kann man immer einen zweiten Job annehmen, wenn man Teilzeit arbeitet? Die Arbeitsbereiche sind komplett anders, also nicht mit Konkurrenz zwischen Arbeitgebern.
In meinem Vertrag steht zumindest keine Klausel zu diesem Thema.
Muss ich das von meinem Arbeitgeber absegnen lassen? Bin ich verpflichtet, es überhaupt meinem Hauptarbeitgeber zu melden?

Ich würde gern diesen Nebenjob annehmen, in dem Fall das es geht, da erstens der Arbeitsweg viel kürzer ist, und ich mich zweitens auch nicht vorstellen kann, bis zur Rente in mein Hauptjob zu arbeiten. Da ich aber nicht 100% sicher bin, dass ich auch als Lehrer so gut sein soll, würde ich gern beide Stellen parallel behalten.

Danke für Ihre Antworten
P.S.: sollten sich welche denken, dass mein Deutsch sowieso zu schlecht ist um zu unterrichten, es handelt sich um Fremdsprachenunterricht in meine Muttersprache, und das Gymnasium ist von sich aus auf mich zugekommen, weil es bis jetzt keiner findet, der in der Region die Sprache unterrichten will.