Nachzahlung wegen Höhergruppierung

hallo liebe community,
habe seit februar eine neue arbeit. zu beginn fehlten mir leider zeugnise meiner alten arbeit.
demnach wurde ich zunächst nach e7 stufe 1 vergütet. soweit ok.
habe zwischzeitlich die zeugnisse eingereicht und habe von meinem arbeitgeber schriftlich die bestätigung bekommen, dass ich ab februar( also ab beginn des arbeitsverhältnisses) nach e7 stufe 2 vergütet werde.
nun habe ich die zweite abrechnung bekommen: immer noch vergütung nach e7 stufe 1. zudem wurden mir noch knapp 200 euro nachträglich aus dem februar abgezogen, die ich anscheinend zuviel bekommen habe. das gehalt wurde im februar wegen teilmonatsrechnung gekürzt. statt 30 tagen, wie in der alten abrechnung, sind es plötzlich nur noch 24 sozialversicherungstage für den februar. logisch, dass der februar auch nach e7 stufe 1 vergütet wurde.
ist der arbeitgeber nicht verpflichtet mich auch rückwirkend nach höherer eingruppierung zu vergüten? im monat februar habe ich jetzt tatsächlich über 400 euro weniger brutto. ich finde es müsste doch mein recht sein jetzt mehr geld zu bekommen und nicht noch weniger.
das ganze kostet wirklich nerven und ist richtig frustrierend.
versuche morgen das ganze mal zu kommunizieren, aber vielleicht hat hier der ein oder andere ein paar tips für mich.
danke schonmal