In der Probezeit gekündigt, soll Arbeitskleidung selber bezahlen

Guten Tag, ich habe im Februar eine Ausbildung angefangen und wurde aufgrund von Krankheit innerhalb der Probezeit gekündigt. Damit war/bin ich auch soweit einverstanden, da ich der Firma und meiner Ausbildung ja auch nicht schaden will, indem ich über einen längeren Zeitraum krank bin.

Nun ist es so, dass die Firma an einem Tag, auf der Arbeit, mit einer Winterjacke mit deren Logo und meinem Nachnamen ankam. Nachdem die Firma mich nun gekündigt hat, soll ich die Jacke nun selber bezahlen mit der Begründung, dass sie wegen dem Namen ja eh kein anderer mehr tragen könne.

Ich wurde weder gefragt, ob ich die Jacke will, noch habe ich etwas dazu im Vertrag gesehen. Das einzige was ich unterschrieben habe ist ein Zettel, auf dem steht, dass Arbeitskleidung bei Beendigung des Arbeitsverhältnisses gewaschen in der Firma abzugeben ist, was auch kein Problem wäre.

Nun kann ich die Jacke aber unmöglich in der Freizeit anziehen, da ja deren Logo drauf ist etc.

Ich bin mir jetzt natürlich nicht sicher, ob ich da im Recht bin oder nicht. Vielleicht kann mir hier ja jemand etwas dazu sagen. Falls noch mehr Infos benötigt werden, gebe ich die natürlich gern raus