Wechsel von privater Krankenversicherung zu gesetzlicher Krankenversicherung

Schönen Guten Abend,

mein Name ist Manuel und ich benötige von einem Experten einmal eine Einschätzung zur Rechtslage.
Der Sachverhalt stellt sich wie folgt dar:

Ich war bis zum 31.12.2015 über meine Mutter bei einer privaten Krankenversicherung versichert, da ich zu dieser Zeit an einer Universität studiert habe. Zum 01.01.2016 habe ich eine Anstellung bei einer Firma angenommen und bin seit diesem Tag gesetzlich versichert.
Ich bin bisher fest davon ausgegangen, dass man als Person nur bei einer Krankenversicherung versichert sein kann und dachte, dass die gesetzliche Versicherung meine private Krankenkasse darüber informiert, dass ich nun dort versichert bin. So stellte ich mir den Wechsel der Versicherungen vor - Leider war das nicht die Realität.
Die private Krankenversicherung hat weiterhin die monatlichen Beiträge eingezogen und ich muss zu meiner Schande gestehen, dass mir das erst Ende August aufgefallen ist...
Nun beruft sich die private Versicherung auf das Versicherungsvertragsgesetzt was besagen soll, dass die private Krankenkasse hätte bis zum 31.03.2016 darüber informiert werden müssen, dass ich ab dem 01.01.2016 gesetzlich versichert bin.
Ich habe im Zeitraum 01.01.2016 bis heute keinerlei Leistungen der privaten Krankenkasse in Anspruch genommen.

WIe sieht hier die Rechtslage aus? Kann man gegen die Entscheidung der privaten Versicherung vorgehen, dass die Beiträge rückwirkend zurück bezahlt werden?

Ich bedanke mich recht herzlich im Voraus für eure Antworten.

Viele Grüße,
Manuel