Mit voller unbefristeter Erwerbsminderungsrente Sozialgeld in Bedarfsgemeinschaft möglich?

Hallo, ich bräuchte ein Tipp, weil die Mitarbeiter beim Jobcenter sich wohl nicht so genau mit der Materie auskennen.
Problem:
Ich erhalte seid Okt. eine volle unbefristete Erwerbsminderungsrente. Bis dahin haben wir Wohngeld und Kinderzuschlag erhalten. Kinderzuschlag ist wohl mit der Rente nicht mehr möglich (abgeleht worden), was ich in einem anderen Beitrag geschrieben habe.
Nun müssen wir Aufstocken, weil das Geld nicht reicht. Gestern waren wir beim zuständigen Jobcenter und ich habe den SB mein Anliegen genau erklärt und auch meinen Rentenbescheid vorgelegt. Ich habe ihn auch direkt gefragt, ob ich beim Jobcenter richtig bin oder beim Sozialamt einen Antrag auf Grundsicherung stellen muss. Er sagte mehrfach, dass das Jobcenter zuständig sei, da ich mit einer Erwerbsfähigen Partnerin in einer Bedarfsgemeinschat lebe. Natürlich haben wir nun alle Unterlagen erhalten und sollen diese ausfüllen. Nach einen weiteren Telefonat mit dem Sozialamt, müßte ich Grundsicherung für mich und der Bedarfsgemeinschaft beantragen. Um das noch mal abzuklären, habe ich die hotline der Jobagentur angerufen, da man ja nicht mehr direkt einen Sachbearbeiter anrufen kann. Die gute Frau bestätigte mir, das ich "alleine" Grundsicherung beantragen und meine Partnerin und die Kids beim Jobcenter einen Antrag stellen müssen. Jetzt kenne ich mich echt nicht ehr aus. Wer ist jetzt genau für uns zuständig. Es kann doch nicht sein, das jeder der Bedarfsgemeinschaft bei einer anderen Behörde die Anträge stellen muss...oder?
Über Tipps wäre ich dankbar!