Mieter schlägt Nagel in Heizungsrohr

Meine Mieterin zeigte mir einen hinter einem Bild befindlichen Schimmelfleck an einer Zimmerwand. Man konnte aufgrund der Wandtemperatur an dieser Stelle fühlen, dass ein Heizungsrohr unter dem Putz verlegt sein musste. Ich beauftragte einen Installateur mit der Suche nach dem Defekt und entsprechender Reparatur. Es stellte sich EINDEUTIG heraus, dass die Mieterin zu ihrem Einzug im Oktober (hier wurde wahrscheinlich noch nicht geheizt) einen Stahl-Nagel in das Kupferrohr geschlagen hatte, um eben das o.g. Bild aufzuhängen. Die Mieterin weigert sich nun, die Rechnung zu begleichen (sie gibt zu, den Nagel eingeschlagen zu haben, hätte jedoch nicht wissen können, dass an der Stelle ein Rohr verlegt sei). Nun wendet sich der Handwerker mit Bitte um Begleichung der Rechnung an mich, da ich ihn beauftragte. Was sieht die Rechtssprechung vor? Muss in solch einem Fall Mieter oder Vermieter die Rechnung zahlen?