Möglichkeit bei Scheidung über BGB § 1568a gemeinsamen Mietvertrag alleine weiterzuführen.

Ich wollte kurz Rückfrage halten, ob ich einen Sachverhalt richtig interpretiere.
Ehe soll jetzt geschieden werden, Konsultierung eines Anwaltes in Kürze.

Trennung mit Auszug (keine Scheidung) 2011, Ehepartner A und 2 Kinder verblieben in der gemeinsamen Wohnung. Miete wurde seither immer pünktlich von A alleine gezahlt.
Genug Einkommen zum Halten der Wohnung ist vorhanden (sichere und langjährige Arbeitsstelle).

Telefonische Anfrage beim Vermieter 2012, ob Ehepartner A den Mietvertrag alleine weiterführen kann wurde abgelehnt (mehr Sicherheit für den Vermieter).

Sinngemäß steht nun in BGB § 1568a :
(1) Das der Partner mit den Kindern verlangen kann, dass die Ehewohnung im Falle der Scheidung überlassen wird.

weiter in Absatz 3:
Der Ehegatte den die Wohnung überlassen wird, setzt (nach Mitteilung an den Vermieter) ein von beiden eingegangenes Mietverhältnis allein fort.

Fragen:
Ist der Vermieter nun verpflichtet, nach Zusendung einer Kopie des Scheidungsantrages und Verweis auf BGB § 1568a , den Ehepartner B aus dem Mietvertrag zu entlassen (ausdrücklich kein Abschluss eines Neumietvertrages).

Und wenn er dies ablehnt, hätte er dann theoretisch die Kosten für das Wohnungszuweisungsverfahren zu übernehmen, weil dieses sonst nicht nötig wäre?

Werden solche Wohnungszuweisungen in der Regel vor Gericht erteilt?
Habe ich den Sachverhalt richtig verstanden oder etwas Wichtiges übersehen?