längere Krankheit, dann Kündigung durch Arbeitgeber und schlechtes Arbeitszeugnis

Hallo Community,

folgendes Problem:

Seit Februar befand ich mich in einer neuen Anstellung. Im Mai erkrankte ich. Nach andauernder Arbeitsunfähigkeit erhielt ich Ende Juni die ordentliche Kündigung meines Arbeitgebers. Die Probezeit belief sich jedoch nur auf 3 Monate und war zum Zeitpunkt der Erkrankung schon bestanden. Da es sich um einen Betrieb mit weniger als 10 Mitarbeitern handelt, griff der gesetzliche Kündigungsschutz nicht. Daher musste der AG auch keinen Kündigungsgrund nennen. Ich erhielt ein Arbeitszeugnis mit der Note 3 und formuliere nun einen Widerspruch, da ich mit der Note nicht einverstanden bin und sie auch nicht meine Arbeitsleistung angemessen widerspiegelt. Dem Widerspruch werde ich eine entsprechend umformulierte Version des Zeugnisses beilegen. Gelesen habe ich, dass man erst ohne anwaltliche Unterstützung die Korrektur anfragen soll, daher versuche ich nun auf eigene Faust an wichtige Informationen zu kommen. Nun ist meine Frage die folgende: Im Zeugnis hat der AG keine Angabe dazu gemacht, wie es zur Beendigung des Arbeitsverhältnis gekommen ist. Ich habe aber gelesen, dass das Weglassen dieser Information keinen guten Eindruck macht und ungünstige Spekulationen beim Zeugnisleser triggert. Eine geeignetes Formulierungsbeispiel für den Fall der arbeitgeberseitigen Kündigung habe ich jedoch auch nicht gefunden. Ich wäre daher dankbar für jeden Tipp bzw. Erfahrungen.

Viele Grüße
mariaz