Auftragsbestätigung vs. deutlich höhere Rechnung

Mein Anliegen ist das folgende:

Ein Endkunde (Kommune) hat bei mir ein Außengerät für einen Kindergarten gekauft, dafür wollte er auch gerne den Aufbau mit angeboten haben.

Ich habe bei einem Gartenbauer angefragt, was der Aufbau genau dieses Gerätes kosten solle. Der Geschäftsführer nannte mir dann telefonisch Summe x, die sie dafür berechnen würden. Dies baute ich dann in mein Angebot an den Endkunden ein, eine Buchung erfolgte.

Zudem schickte ich dem ausführenden Gartenbauer eine Auftragsbestätigung per Mail, in der ich die Summe, das aufzubauende Gerät mit allen Spezifikationen und den groben Zeitrahmen nannte.

Die wurde stillschweigend akzeptiert, es gab von Seiten des Gala-Bauers keine Einwände. Später schickte ich nochmals eine Mail, in der ich darauf hinwies, dass mir die Summe x nach Fertigstellung in Rechnung zu stellen sei. Abermals gab es keine Kritik oder Rückfrage zur Summe.

Einschub: Das betreffende Gerät ist ein Sonnensegel, der Aufbau eines solchen Gerätes umfasst einerseits das Anlegen von Fundamenten für die Pfosten und andererseits muss das Segel daran angebracht werden. Der Begriff "Aufbau" umfasst also logischerweise das Komplettpaket, einzelne Arbeitsschritte wurden meinerseits nie angefragt (das würde einem kein Kunde abkaufen).

Nun wurde das Gerät vom Gartenbauer aufgebaut und vom Endkunden abgenommen. Allerdings erhielt ich dann ein paar Tage später eine Rechnung, in der die Summe x an Position eins aufgeführt ist, jedoch zusätzlich eine knapp doppelt so hohe Summe an Position zwei.

Auf Rückfrage wurde mir gesagt, es sei ja im Angebot nur das Anlegen der Fundamente berechnet worden, das Anbringen des Segels würde Summe y erfordern. Ich wies darauf hin, dass doch eine AB verschickt und nicht hinterfragt wurde. Eine Mail mit entsprechender Nachfrage habe ich ebenfalls verschickt (mit meiner AB in Kopie).

Der GF des Gala-Bauers gab am Telefon zu, dass es intern wohl Fehler bei Angeboten und dazugehöriger Kommunikation gebe. Zudem sei ihm bewusst, dass da was "verbockt" wurde und sie wohl draufzahlen müssten. Allerdings hat ja speziell er mir meine Anfrage nach Summe x bestätigt. Dieses Abwälzen der durch interne Fehler entstandenen Kosten auf mich ist meiner Meinung nach inakzeptabel.

Frage: Wie gehe ich nun weiter vor?

Aus meiner Sicht würde ich nur den in der AB abgestimmten Betrag überweisen, den Rest ablehnen und dies schriftlich mitteilen (gerne mit Verweis auf passende Paragraphen). Zudem las ich, dass man wohl die Rechnung ergänzt um einen Hinweis in Richtung "nicht korrekt" zurückschicken soll.

Meinungen? Paragraphen? Präzedenzfälle?

Danke im voraus!