Mietzahlung nach Tod des Mieters

Wenn ich als Erbe, die Wohnung des Verstorbenen unmittelbar nach Tag des Ablebens gekündigt habe, und am Ende der Folgewoche einem Vertreter der Gemeindeverwaltung, gereinigt und mit allen Schlüsseln übergeben habe... in der Annahme, das Mietverhältnis sei nun beendet... muss ich nun für, den Zeitraum der gesetzlichen Kündigungsfrist noch Miete zahlen?
Die Gemeindeverwaltung sagte mir noch in der Woche der Räumung, dass ihr Telefon nicht mehr stillstünde, weil unzählige Nachfragen für die barrierefreie altenbetreute Wohnung ihnen den Nerv raube.

Ich habe keinerlei Möglichkeit zu überprüfen, was in der Zeit, in der ich nun noch den Mietzins entrichte, in der Wohnung passiert. Ob renoviert wird, ob Nachmieter bereits darin arbeiten.