Handwerker möchte Geld vom Vermieter - berechtigt?

Problem:
Der Mieter beschwert sich beim Vermieter über Geräusche der Heizungsleitungen und darüber, dass es in einem Zimmer nicht richtig warm wird.
Der Vermieter schlägt vor, bezüglich der Geräusche den Schrank ein wenig von den Heizungsrohren wegzurücken. Dies wird vom Mieter zurückgewiesen.
Der Vermieter stellt es dem Mieter frei, einen Termin mit einem Fachbetrieb auszumachen. Im Falle eines regulären Schadens im Verantwortungsbereich des Vermieters hätte dieser den Schaden auch bezahlt.
Wenig später kommt eine Rechnung vom Fachbetrieb an den Vermieter.
Auf dem Stundenzettel steht:
- Spielzeug von Heizungsleitung entfernt und
- Thermostatventil von 3 auf 5 gedreht.
Arbeitszeit 1 1/2 Stunden.
Der Mieter hat diesen Stundenzettel mit den angegebenen Arbeiten unterschrieben. Weitere Arbeiten sind nicht aufgeführt.

Ergebnis: Geräusche weg und es wird warm.

Der Vermieter weigert sich nun, die Rechnung zu bezahlen, da ihn seiner Meinung nach kein Verschulden trifft und teilt dem Fachbetrieb mit, dass er sich mit seinen Ansprüchen an den Mieter halten soll.

Dies versucht der Fachbetrieb, bekommt jedoch kein Geld, weil der Mieter Hartz IV Empfänger ist.
Daraufhin wendet sich der Handwerksbetrieb erneut an den Vermieter und stellt ihm mit der Begründung die Rechnung, da er ja von dem Mieter kein Geld bekommt.

Der Vermieter ignoriert diese Rechnung, da er sie ja bereits zurückgewiesen hat. 2 Wochen später kommt die Zahlungserinnerung.

Wie soll sich der Vermieter jetzt verhalten?

Ist es relevant, dass der Betrag über etwas mehr als 80 Euro ohnehin von der Kleinreparaturenklausel abgedeckt ist? Müsste in diesem Fall der Vermieter das Geld auslegen, oder ist das auch Sache des Mieters?

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