Gehaltsgruppierungen - AGG - gleiche Bezahlung für selbe Tätigkeit

Hallo zusammen,
angenommen, man arbeitet bei einem öffentlichen Arbeitgeber in der Wohnungswirtschaft als IT'ler. Das heisst, im Mantel und Zusatztarifvertrag ist die IT nur sehr wenig enthalten, aber jedoch das wenige ist klar definiert.

Der Arbeitsvertrag enthält eine Stellenbezeichnung, die es im Tarifvertrag nicht gibt, dieser zählt aber für den Arbeitnehmer in allen anderen Belangen. Die Lohngruppe wiederum basiert auf der Stellenbezeichnung nach Tarifvertrag. Die direkten Kollegen im selben Team besitzen einen Arbeitsvertrag mit einer Stellenbezeichnung nach Tarifvertrag - aber eine Lohngruppe die eine Stufe unter des eigentlichen Jobtitels ist. Genauer gesagt, 3 sind IT Systembetreuer (im tarifvertrag vorhanden und so bezeichnet) und sollten laut Tarifvertrag Lohngruppe 5 bekommen. Einer hat einen Arbeitsvertrag als Consultant (nicht im Tarifvertrag definiert).
Einer von den anderen 3 hat Lohngruppe 4a, die anderen beiden haben die 4.
Nun wird in dieser Firma das Allgemeine Gleichstellungsgesetz mehr als groß geschrieben und entsprechend zelebriert.

Eine Umgruppierung wird auf einem herkömmlichen Weg nicht stattfinden, somit bleibt nur noch der rechtliche Weg. Ist es gesetzlich möglich rückwirkend die selbe Lohngruppe zu bekommen die auch ein direkter Kollege im Team bekommt?

Zusammengefasst: Person A, B und C sind IT Systembetreuer laut Arbeitsvertrag - laut Tarifvertrag Lohngruppe 5, A und B haben laut Arbeitsvertrag die 4, Person C die 4a welche höher bezahlt ist.

Person D hat eine Stellenbezeichnung (Consultant) die im Tarifvertrag nicht enthalten ist - Lohngruppe 4.

Ist eine Klage nach Eingruppierung der Stellenbezeichnung laut Tarifvertrag möglich und evtl. sinnvoll? Anpassung von A, B und C an die Lohngruppe 5 aufgrund der Stellenbezeichnung im Arbeitsvertrag und des Tarifvertrages, sowie Anpassung von Person D aufgrund AGG?

Komplizierter Sachverhalt, ich weiß...aber einfach wäre ja langweilig ;-)

Danke Und Gruß
Kopfloser