Eintragung einer Marke, Ausländer macht das Selbe

Guten Tag Community,

ich habe eine Frage zum Markenrecht.
Und zwar werde ich beantragen, meinen Phantasienamen, den es laut Recherche noch nicht gibt als Wort-Marke anzumelden beim DPMA.

Nun aber eine Frage, stellen wir uns folgende Situation vor:

Ich beantrage beim DPMA nationalen Schutz für 3 NIZZA-Klassen.
Wenige Tage später kommt zum Beispiel ein Italiener auf die Idee (lange bevor meine Eintragung durch ist), den selben Begriff national bei mindestens 1 identischen NIZZA-Klasse beim italienischen Markenamt anzumelden.

Da könnte es ja sogar sein, dass es in Italien mal schneller geht und er früher seine Anmeldung durch hat, aber ich habe den Antrag früher gestellt.

Kann er mich dann Abmahnen? Kann ich ihn nachher Abmahnen (nehmen wir an ich habe den Antrag beim DPMA 5 Tage früher eingereicht) oder hat einfach jeder auf seinem Terretorium (ich Deutschland, er Italien) danach die selbe Marke eingetragen, keiner darf eine Gemeinschaftsmarke anmelden (würde ja abgelehnt vom jeweiligen anderen Land) und jeder nutzt as selbe Wort um seine Produkte zu kennzeichnen.

Wäre froh wenn mich da jemand ein bisschen aufklären könnte.

Es kann sogar so sein, dass die Person in Italien den Phantasienamen schon länger im Geschäftsleben (allerdings ohne Eintragung) nutzt und damit bereits jetzt seine Produkte damit beschriftet.

Kann ich ihn dann eventuell wenn ich meine Marke durch habe dazu bringen, dass er das zukünftig zu unterlassen hat und eventuell Produkte die bereits beschriftet wurden zu vernichten?

Schon mal vielen Dank für die Antwort.

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