Auszahlung im Schadensfall

1.
Siehe §147 Abs. 2 BGB .
Also keine feste Frist, sondern "... bis zu dem Zeitpunkt angenommen werden, in welchem der Antragende den Eingang der Antwort unter regelmäßigen Umständen erwarten darf"

2.
Im Regelfall sind Angebote von Versicherungen so formuliert, dass man mit Annahme der Summe gleichzeitig auf weitere Ansprüche verzichtet. Man müsste also das Angebot genau prüfen.
Aber meistens ist Kann A die 10.000 € schonmal nehmen und gleichzeitig B darauf hinweisen, dass die Sache aber noch nicht beendet ist und A einen höheren Betrag möchte ? deshalb mit einem "Nein" zu beantworten.

3. siehe 1.
Natürlich kann A sich mit seiner Forderung Zeit lassen. Es gelten die gesetzlichen Verjährungsfristen.
Aber das Angebot von B über 10000€ steht in 4 Monaten möglicherweise nicht mehr. Wenn A die angebotenen 10000€ nicht zeitnah annimmt, dann kann B sein Angebot erhöhen, verringern, oder ganz zurückziehen. B ist nicht verpflichtet, das bisherige Angebot bis zum Eintritt der Verjährung unverändert aufrecht zu erhalten.

A muss halt wissen, wie hoch er pokern möchte.
Entweder die 10000€ jetzt nehmen, oder warten und auf mehr hoffen. Ob das klappt, oder ob man dann später sagt "hätte ich doch besser gleich die 10000€ genommen", steht in den Sternen.