Abfindung möglich nach 38 Jahren?

Ich sage mal so: die Dauer der Betriebszugehörigkeit wird überschätzt.
Die vier Jahre bei der Stadt werden ihr sicher angerechnet und damit hat sie schon einen gewissen Schutz, jedenfalls längeren K'schutz. Das ist vielleicht eine Frage wert, kaum aber ein Knackpunkt, möchte mir scheinen. Bei 'Null' wird sie gewiss nicht anfangen.
Abfindung sehe ich rundum nirgends.
"AV sechs Jahre früher beendet" verstehe ich schlicht nicht. Sie kann Stundenreduzierung angehen, sie kann auch ab 60 ... in Rente, wenn auch mit Abschlägen.
Wenn deine Mutter also einen Vertrag zu gleichen Konditionen bekommt, ist das doch schon ein dickes Plus und durchaus fair.

Gehen wir davon aus, dass der TVöD hier der gültige Tarifvertrag ist, ist Ihre Mutter fast unkündbar, sprich nur außerordentlich kündbar.
Siehe dazu:
http://www.haufe.de/oeffentlicher-dienst/tvoed-office-professional/kuendigung-131-unkuendbare-beschaeftigte-bedeutung-und-voraussetzungen_idesk_PI13994_HI711960.html

Somit hat sie erstmal eine gute Verhandlungsgrundlage, wenn sie mit Abfindung gehen will. Da aber Fachkräfte wie sie zur Zeit verstärkt gebraucht werden, vermute ich mal mal, dass die Stadt kein Interesse hat, sie gehen zu lassen und somit auch eher keine Abfindung zahlen will. Der Personalrat könnte eine erste Einschätzung zu der Frage geben, der müßte die Personalsituation kennen.

Wieso die 38 Jahr Betriebszugehörigkeit nicht in den neuen Vertrag übernehmen. Das ist grundsätzlich möglich. Vielleicht wäre das eher eine Verhandlungsoption.

Das Thema Abfindung ist immer ein sehr schwieriges. Es gibt Arbeitgeber, die zahlen auch nach einer relativ kurzen Zugehörigkeit eines Arbeitnehmers einen recht hohen Betrag. Wiederum andere zahlen, auch nach langjähriger Betriebszugehörigkeit gar nicht. Das Problem ist, dass kein Arbeitgeber Abfindungen zahlen MUSS. Oftmals entscheidet der Kündigungsgrund darüber, ob und in welcher Höhe eine Abfindung ausgezahlt wird. Je weniger eine Kündigung begründet werden kann, desto wahrscheinlicher ist eine Abfindung. Hierbei muss natürlich die wirtschaftliche Situation des Arbeitgebers beachtet werden (Quelle: http://fragwerner.de/anwalt-arbeitsrecht-muenchen).
In eurem Fall wurde ja deiner Mutter sogar ein neuer Job angeboten, sodass sie rein theoretisch gar keine Abfindung benötigt, um eine evtl. Arbeitslosigkeit zu überbrücken.
Hat sie das Thema denn schon mal offen angesprochen? Also hat der Arbeitgeber eine Abfindung von vorn herein ausgeschlossen oder wollt ihr euch nur vorab informieren?

Das ist wirklich schwierig zu beantworten. Da solltest du lieber einen Fachmann konsultieren oder in der Branche, in der deine Mutter arbeitet, mal recherchieren.
Im Zweifel würde ich immer etwas höher in die Verhandlung gehen. Der Arbeitgeber geht schon von alleine etwas runter, wenn ihm der Betrag zu hoch erscheint.